Corrente Alternada

Números complexos

Para detalhes clique aqui. 

Forma retangular:

Forma polar:

Forma trigonométrica:

Forma exponencial:

Forma de Euler:

Exemplo:

Exercício:

Dado o seguinte plano cartesiano que representa um número complexo. Coloque em todas as formas.

Operações com números complexos.

Sejam os números

            Ẑ₁ = a +jb = Z₁ ےθ

            Ẑ₂ = c +jd = Z₂ﮮΦ

Adição

Ẑ₁ + Ẑ₂ = (a + jb) + (c + jd)

Ẑ₁ + Ẑ₂ = a +jb + c + jd

Ẑ₁ + Ẑ₂ = (a + c) + j(b + d)

Ẑ₁ + Ẑ₂ = Ẑ₂ + Ẑ₁

Subtração

Ẑ₁ – Ẑ₂ = (a + jb) – (c + jd)

Ẑ₁ – Ẑ₂ = a + jb – c + jd

Ẑ₁ – Ẑ₂ = (a – c) + j(b – d)

Ẑ₁ + Ẑ₂ ≠ Ẑ₂ + Ẑ₁

Multiplicação

Ẑ_{1 *} Ẑ₂ = (a + jb) _* (c + jd)

Ẑ_{1 *} Ẑ₂ = ac + ajd + jbc + j²bd

Ẑ_{1 *} Ẑ₂ = ac + ajd + jbc – bd

Ẑ_{1 *} Ẑ₂ = (ac – bd) + j(ad + bc)

Ẑ_{1 *} Ẑ₂ = Ẑ_{2 *} Ẑ₁

Divisão

Ẑ₁ / Ẑ₂ = (a + jb) / (c + jd)

Observação: conjugado do número complexo (Z*₂)

Z*₂ = c – jd

Para simplificar a multiplicação e a divisão de números complexos, nesses casos faremos estas operações com os números na forma polar.

Multiplicação na forma polar

Divisão na forma polar

Exemplo:

Ẑ₁ = 3 + j4 = 5ے53º

Ẑ₂ = 4 + j3 = 5ﮮ37º

Ẑ_{1 *} Ẑ₂ = 5ے53º _* 5ﮮ37º = 5_*5 ﮮ(53º + 37º) = 25ﮮ90º

Ẑ₁ / Ẑ₂ = 5ے53º / 5ﮮ37º = (5 / 5)ﮮ(53º - 37º) = 1ﮮ16º 

Exercícios-exemplo:

Sem uso de calculadora converter de forma retangular para polar e de polar para retangular.

1) Ẑ = 10 + j8

Solução

Ẑ = 10 + j8 (está no 1º quadrante)

│Ẑ│= √(10² + 8²) ≈ 12,8 

θ = arctan(8/10) ≈ 39º

Logo,   Ẑ = 12,8ﮮ39º

2) Ẑ = – 5 – j12

Solução

Ẑ = – 5 – j12 (está no 3º quadrante)

│Ẑ│= √((-5)² + (-12)²) = 13

Como está no 3º quadrante: θ = [arctan(12/5) ± 180º] ≈ [67 ± 180] = 247º ou – 113º

Logo, Ẑ = 13ﮮ247º ou 13ﮮ -113º

 3) Ẑ = – 40 + j50

Solução

Ẑ = – 40 + j50 (está no segundo quadrante)

│Ẑ│= √((-40)² + 50²) ≈ 64

 Como está no 2º quadrante:

θ = [arctan(50/(-40) ± 180º] ≈[51º ± 180º] = 129º ou – 231º

Logo, Ẑ = 64ﮮ129º ou 64ﮮ -231º

4) Ẑ = 60 – j30

Solução

Ẑ = 60 – j30 (está no quarto quadrante)

│Ẑ│= √(60² + (-30)²) ≈ 67

θ = arctan(-30/(60) ≈ - 27º

Logo, Ẑ = 67ﮮ - 27º

5) 150ﮮ 30º

Solução

Ẑ = │Z│_*(cosθ + jsenθ)

(1º quadrante)

Ẑ = 150_*(cos30º + jsen30º) ≈ 130 + j75

6) 120ﮮ 120º

Solução

Ẑ = │Z│_*(cosθ + jsenθ)

(2º quadrante)

Ẑ = 120_*(cos120º + jsen120º) ≈  – 60 +j104

7) 50ﮮ 220º

Solução

Ẑ = │Z│_*(cosθ + jsenθ)

(3º quadrante)

Ẑ = 50_*(cos220º + jsen220º) ≈  – 38  – j32

RESISTOR em CA (corrente alternada)

Nas equações acima observamos que:

Fase da tensão = ωt

Fase da corrente = ωt

Diagrama fasorial

Não existe defasagem entre tensão e corrente no resistor.

(tensão e corrente estão em fase).

Notação complexa

R será sempre um número real.

Exemplo: R = 30Ω

CAPACITOR

C: capacitância do capacitor,

Unidade: faraday (F)

Reatância capacitiva (Xc) – Unidade: Ohms (Ω)

Exemplo – exercício

Calcular a reatância capacitiva para os seguintes dados:

C = 2μF e f = 60 Hz

Xc = 1/2πfC= 1/ 2π60.2x10^-6 = 1326,3  ↔ Xc = 1326,3Ω

CAPACITOR em CA (corrente alternada)

Fase da tensão = ωt

Fase da corrente = (ωt + 90º)

Diagrama fasorial

Existe uma defasagem entre tensão e corrente.

A corrente está 90º adiantada em relação à tensão.

Notação complexa

Xc será sempre um número imaginário negativo.

Exemplo – exercício

INDUTOR

L: indutância do indutor.

Unidade: Henry (H)

Reatância indutiva (X_L) – unidade ohms (Ω) 

Exemplo - exercício:

Sabendo-se que f = 60 Hz e L = 0,5 H. Calcular o valor de X_L.

X_L = 2πf.L

X_L = 2_*3,14_*60_*0,5 = 188,4 Ω

INDUTOR em CA (corrente alternada)

Fase da tensão = ωt

Fase da corrente = (ωt – 90º)

Diagrama fasorial

Existe uma defasagem entre tensão e corrente.

A corrente está 90º atrasada em relação à tensão.

Notação complexa

X_L será sempre um número imaginário positivo.