Corrente Alternada

Números complexos

Para detalhes clique aqui. 

Forma retangular:

Forma polar:

Forma trigonométrica:

Forma exponencial:

Forma de Euler:

Exemplo:

Exercício:

Dado o seguinte plano cartesiano que representa um número complexo. Coloque em todas as formas.

Operações com números complexos.

Sejam os números

            Ẑ₁ = a +jb = Z₁ ےθ

            Ẑ₂ = c +jd = Z₂ﮮΦ

Adição

Ẑ₁ + Ẑ₂ = (a + jb) + (c + jd)

Ẑ₁ + Ẑ₂ = a +jb + c + jd

Ẑ₁ + Ẑ₂ = (a + c) + j(b + d)

Ẑ₁ + Ẑ₂ = Ẑ₂ + Ẑ₁

Subtração

Ẑ₁ – Ẑ₂ = (a + jb) – (c + jd)

Ẑ₁ – Ẑ₂ = a + jb – c + jd

Ẑ₁ – Ẑ₂ = (a – c) + j(b – d)

Ẑ₁ + Ẑ₂ ≠ Ẑ₂ + Ẑ₁

Multiplicação

Ẑ_{1 *} Ẑ₂ = (a + jb) _* (c + jd)

Ẑ_{1 *} Ẑ₂ = ac + ajd + jbc + j²bd

Ẑ_{1 *} Ẑ₂ = ac + ajd + jbc – bd

Ẑ_{1 *} Ẑ₂ = (ac – bd) + j(ad + bc)

Ẑ_{1 *} Ẑ₂ = Ẑ_{2 *} Ẑ₁

Divisão

Ẑ₁ / Ẑ₂ = (a + jb) / (c + jd)

Observação: conjugado do número complexo (Z*₂)

Z*₂ = c – jd

Para simplificar a multiplicação e a divisão de números complexos, nesses casos faremos estas operações com os números na forma polar.

Multiplicação na forma polar

Divisão na forma polar

Exemplo:

Ẑ₁ = 3 + j4 = 5ے53º

Ẑ₂ = 4 + j3 = 5ﮮ37º

Ẑ_{1 *} Ẑ₂ = 5ے53º _* 5ﮮ37º = 5_*5 ﮮ(53º + 37º) = 25ﮮ90º

Ẑ₁ / Ẑ₂ = 5ے53º / 5ﮮ37º = (5 / 5)ﮮ(53º - 37º) = 1ﮮ16º 

Exercícios-exemplo:

Sem uso de calculadora converter de forma retangular para polar e de polar para retangular.

1) Ẑ = 10 + j8

Solução

Ẑ = 10 + j8 (está no 1º quadrante)

│Ẑ│= √(10² + 8²) ≈ 12,8 

θ = arctan(8/10) ≈ 39º

Logo,   Ẑ = 12,8ﮮ39º

2) Ẑ = – 5 – j12

Solução

Ẑ = – 5 – j12 (está no 3º quadrante)

│Ẑ│= √((-5)² + (-12)²) = 13

Como está no 3º quadrante: θ = [arctan(12/5) ± 180º] ≈ [67 ± 180] = 247º ou – 113º

Logo, Ẑ = 13ﮮ247º ou 13ﮮ -113º

 3) Ẑ = – 40 + j50

Solução

Ẑ = – 40 + j50 (está no segundo quadrante)

│Ẑ│= √((-40)² + 50²) ≈ 64

 Como está no 2º quadrante:

θ = [arctan(50/(-40) ± 180º] ≈[51º ± 180º] = 129º ou – 231º

Logo, Ẑ = 64ﮮ129º ou 64ﮮ -231º

4) Ẑ = 60 – j30

Solução

Ẑ = 60 – j30 (está no quarto quadrante)

│Ẑ│= √(60² + (-30)²) ≈ 67

θ = arctan(-30/(60) ≈ - 27º

Logo, Ẑ = 67ﮮ - 27º

5) 150ﮮ 30º

Solução

Ẑ = │Z│_*(cosθ + jsenθ)

(1º quadrante)

Ẑ = 150_*(cos30º + jsen30º) ≈ 130 + j75

6) 120ﮮ 120º

Solução

Ẑ = │Z│_*(cosθ + jsenθ)

(2º quadrante)

Ẑ = 120_*(cos120º + jsen120º) ≈  – 60 +j104

7) 50ﮮ 220º

Solução

Ẑ = │Z│_*(cosθ + jsenθ)

(3º quadrante)

Ẑ = 50_*(cos220º + jsen220º) ≈  – 38  – j32

RESISTOR em CA (corrente alternada)

Nas equações acima observamos que:

Fase da tensão = ωt

Fase da corrente = ωt

Diagrama fasorial

Não existe defasagem entre tensão e corrente no resistor.

(tensão e corrente estão em fase).

Notação complexa

R será sempre um número real.

Exemplo: R = 30Ω

CAPACITOR

C: capacitância do capacitor,

Unidade: faraday (F)

Reatância capacitiva (Xc) – Unidade: Ohms (Ω)

Exemplo – exercício

Calcular a reatância capacitiva para os seguintes dados:

C = 2μF e f = 60 Hz

Xc = 1/2πfC= 1/ 2π60.2x10^-6 = 1326,3  ↔ Xc = 1326,3Ω

CAPACITOR em CA (corrente alternada)

Fase da tensão = ωt

Fase da corrente = (ωt + 90º)

Diagrama fasorial

Existe uma defasagem entre tensão e corrente.

A corrente está 90º adiantada em relação à tensão.

Notação complexa

Xc será sempre um número imaginário negativo.

Exemplo – exercício

INDUTOR

L: indutância do indutor.

Unidade: Henry (H)

Reatância indutiva (X_L) – unidade ohms (Ω) 

Exemplo - exercício:

Sabendo-se que f = 60 Hz e L = 0,5 H. Calcular o valor de X_L.

X_L = 2πf.L

X_L = 2_*3,14_*60_*0,5 = 188,4 Ω

INDUTOR em CA (corrente alternada)

Fase da tensão = ωt

Fase da corrente = (ωt – 90º)

Diagrama fasorial

Existe uma defasagem entre tensão e corrente.

A corrente está 90º atrasada em relação à tensão.

Notação complexa

X_L será sempre um número imaginário positivo.

Diodo Zener

Símbolo e polarização

Curva característica

O diodo zener é um tipo de semicondutor que se caracteriza por possuir os lados da Junção mais fortemente dopados, fazendo com que a tensão de ruptura caia para valores bastante baixos.

Observamos na curva característica que para uma variação de corrente entre Iz_k e Iz_Max  a tensão Vz é praticamente constante.

O fabricante fornece os seguintes parâmetros:

Caso não tenhamos a informação do valor de (I_z)_k podemos adotar:

Circuito regulador de tensão:

Nota: Rs = resistor limitador de corrente (deve ser dimensionado para que o Iz não ultrapasse Iz_máx .

Considerando apenas a variação da carga (portanto, R_S, V_E  e V_z constantes):

*Análise:

*Na pior condição possível:

Dimensionamento do R_S (valor e potência):

Calculando (R_L)_min:

Calculando (I_L)_max:

Exercício-Exemplo-1:

Dados o circuito abaixo e os parâmetros a seguir:

(Pz)max = 400 mW

Vz = 6 V

Projetar o circuito.

Exercício-Exemplo-2:

Dados V_e=18 V e V_L= 12V

Z₁ {V_z = 10V, (P_z)_Max = 1,2W}

Z₂ {V_z = 12V, (P_z)_Max = 1,2W}

Escolher o zener e calcular:

1)    (I_z)_Max

2)    (I_z)_k

3)    V_S

4)    R_S

5)    (P)R_S

6)    (I_L)_Max

7)    (R_L)_Min

(I_z)_Max = 1,2/12 = 0,1 A = 100 mA

(I_z)_k = 0,1*(I_z)_Max  = 0,1*100 = 10 mA

Vs = Vê – Vz = 18 – 12 = 6 → VS = 6 V

Rs = Vs/Is = Vs/(I_z)_Max = 6/0,1 = 60 →  Rs = 60 Ω

(I_L)_Max = (I_z)_Max – (Iz)k = 100. 10^-3 – 10.10^-3 = 90 mA

(R_L)_Min = V_L/(I_L)_Max = 12/90.10^-3 = 133,3 Ω

Capacitor em Corrente Contínua

Circuito RC

Um circuito resistor-capacitor (circuito RC), filtro RC ou malha RC, é um dos mais simples filtros eletrônicos de resposta de impulso infinita analógicos.

Figura-01: Circuito RC, para estudo na carga e descarga do capacitor C.

1) Na carga do capacitor C
    (Capacitor em Corrente Contínua)

E = R.i + Vc → E = R.i + q/C, onde q = carga no capacitor
R.i = E – q/C

Portanto, a carga instantânea no capacitor é:

Logo:
Para t = 0 → q = EC (1-1) = 0 → q = 0
Para t = ∞ → q = EC (1-0) = EC → q = EC



A tensão instantânea sobre o capacitor é:

Determinando a corrente na malha:

Usando a lei da conservação de energia, ou considerando as quedas de potenciais no resistor e no capacitor.

Seja q a carga no capacitor e i a corrente no circuito em um dado instante após a chave SW ter sido ligada. As diferenças de potenciais entre os terminais do resistor e do capacitor podem ser escritas por:

Derivando ambos os lados da equação (Eq.03) em relação ao tempo e considerando que E é uma constante, tem-se:

Resolvendo esta equação diferencial ou integrando ambos os membros em relação ao tempo, tem-se:

É a equação que dá a corrente instantânea.

Gráficos

O gráfico-1 ilustra a tensão e a corrente sobre o capacitor em função do tempo.

O gráfico-2 ilustra todos os parâmetros do circuito RC, na carga do capacitor.




Evolução temporal da corrente no circuito RC.

Evolução temporal da carga no capacitor no processo de carregamento.

2) NA DESCARGA DO CAPACITOR

Portanto, a equação da corrente de descarga é:

Logo:
Para t=0 → Imax=(-E/R) é negativo porque a carga está diminuindo.
Para t→∞ → I=0